6.4.5.1. Example of Multivariate Time Series Analysis

6. Controle e Monitoramento de Produto ou Processo
6.4. Introdução à Analise de Séries Temporais
6.4.4. Modelos Univariados de Séries Temporais

6.4.5.1. Exemplo de Análise de Séries Temporais Multivariadas

Exemplo Bivariado de Gás Furance

Os dados do gás furnace de Box, Jenkins, e Reinsel, 1994 é usado para ilustrar a análise de uma série temporal bivariada. Dentro do gás gas furnace, ar e metano foram combinados para obter uma mistura de gases contendo CO₂ (dióxido de carbono). A série de entrada é o gás metano inflamável descrito por

a concentração de CO₂ foi a série de saída, Y(t). Neste experimento 296 pares sucessivos de observações (X_t, Y_t) foram recolhidos dos registros contínuos em intervalos de 9 segundos. Para a análise descrita aqui, somente os 60 primeiros pares foram usados. Ajustamos um modelo ARV(2) como descrito na seção 6.4.5.

Gráficos da entrada e saída da série

Os gráficos da entrada e saída da série estão mostrados abaixo.

Ajustamento do Modelo

A forma escalar do modelo ARV(2) é a seguinte.

Forma escalar do modelo do gás

A equação para x_t corresponde à taxa de gás enquanto a equação para y_t corresponde à concentração de CO₂.

As estimativas do parâmetro para a equação associada com a taxa de gás são os seguintes.

         Estimativa  Erro Padrão  t valor   Pr(>|t|)  
a_1t      0.003063   0.035769    0.086      0.932    
φ_1.11     1.683225   0.123128   13.671    < 2e-16
φ_2.11    -0.860205   0.165886   -5.186   3.44e-06
φ_1.12    -0.076224   0.096947   -0.786      0.435    
φ_2.12     0.044774   0.082285    0.544      0.589    

Erro padrão residual:  0.2654 baseado em 53 graus de liberdade
R-quadrado múltiplo:  0.9387
R-quadrado ajustado:  0.9341 
F-estático:  203.1 baseado em 4 e 53 graus de liberdade  
p-value:  < 2.2e-16

As estimativas do parâmetro para a equação associada com a concentração de CO₂ são as seguintes.

        Estimativa  Erro Padrão  t value   Pr(>|t|) 
a_2t     -0.03372    0.01615   -2.088   0.041641   
φ_1.22     1.22630    0.04378   28.013    < 2e-16
φ_2.22    -0.40927    0.03716  -11.015   2.57e-15
φ_1.21     0.22898    0.05560    4.118   0.000134
φ_2.21    -0.80532    0.07491  -10.751   6.29e-15

Erro padrão residual:  0.1198 baseado em 53 graus de liberdade
R-quadrado múltiplo:  0.9985     
R-quadrado ajustado:  0.9984 
F-estático:  8978 baseado em 4 e 53 graus de liberdade
p-value:  < 2.2e-16

Testes de Box-Ljung realizados para cada série para testar a aleatoriedade dos 24 primeiros resíduos não foram significativos. Os p-values para os testes usando concentração CO₂ residuais e taxa de gás residual foram 0.4 e 0.6, respectivamente.

Previsão

O método de previsão é uma extensão do modelo e segue a teoria delineada na seção anterior. Os valores previstos das próximas seis observações (61-66) e os limites de confiança de 90% associados estão mostrados abaixo para cada série.


             Limite 90%    Concentração   Limite 90%
Observação    Inferior       Prevista      Superior
-----------  ---------     --------      ---------
    61          51.0         51.2           51.4
    62          51.0         51.3           51.6
    63          50.6         51.0           51.4
    64          49.8         50.5           51.1
    65          48.7         50.0           51.3
    66          47.6         49.7           51.8


             Limite 90%     Taxa     Limite 90%
Observation    Inferior    Prevista  Superior
-----------  ---------   --------   ---------
    61         0.795       1.231      1.668
    62         0.439       1.295      2.150
    63         0.032       1.242      2.452
    64        -0.332       1.128      2.588
    65        -0.605       1.005      2.614
    66        -0.776       0.908      2.593