6.4.5. Modelos de Séries Temporais Multivariadas

6. Controle e Monitoramento de Produto ou Processo 6.4. Introdução à Analise de Séries Temporais 6.4.5. Modelos de Séries Temporais Multivariadas
Se cada observação série temporal é um vetor de números, você pode modelar a mesma usando uma forma multivariada do modelo Box-Jenkins	A forma multivariada dos modelos univariados de Box-Jenkins é algumas vezes chamada de modelo ARMAV, para o processo AutoRegressive Moving Average Vector ou simplesmente processo ARMA vetorial. O modelo ARMAV para uma stationary série temporal multivariada , com uma média vetorial zero, representado por é da forma onde *x_t* e *a_t* são vetores colunas n x 1 com *a_t* representando ruído branco (white noise) multivariado são matrizes n x n para os parâmetros autoregressivos e média móvel E[a_t] = 0 onde _a é a dispersão ou matriz covariância de a_t Como um exemplo, para uma série bivariada com n = 2, p = 2, e q = 1, o modelo ARMAV(2,1) é: with
Dificuldade na estimação dos parâmetros e matriz covariância	A estimação dos parâmetros matriciais e matriz covariância é complicado e muito difícil sem um software computacional. A estimação das matrizes de Média Móvel é especialmente uma experiência difícil. Se optarmos por ignorar a(s) componente(s) MA ficamos com o modelo ARV dado por: onde *x_t* é um vetor das observações, *x_1t, x_2t, ... , x_nt* no tempo t *a_t* é um vetor dos ruídos brancos (white noise), *a_1t, a_2t, ... , a_nt* no tempo t is a n x n matriz dos parâmetros autoregressivos E[a_t] = 0 onde Σ_a é a dispersão ou matriz covariância Um modelo com p parâmetros matriciais autoregressivos é um modelo ARV(p) ou um modelo vetorial AR. Os parâmetros matriciais podem ser estimados pelos mínimos quadráticos multivariados, mas existem outros métodos tais como a estimação máxima verosimilhança.
Propriedades interessantes dos parâmetros matriciais	Existem uma poucas propriedades interessantes associadas com o phi ou parâmetros matriciais AR. Considere o seguintge exemplo para uma série bivariada com n =2, p = 2, e q = 0. O modelo ARMAV(2,0) é:

{x(t) y(t)} = {phi(1.11) phi(1.12; phi(1.21) phi(1.22)}*
{x(t-1) y(t-1)} +
{phi(2.11) phi(2.12; phi(2.21) phi(2.22)}*{x(t-2) y(t-2)} +
{a(1t) a(2t)}

	Sem perda de generalidade, assuma que a série X seja entrada e a série Y seja saída e o vetor média = (0,0). Portanto, tranforme a observação subtraindo suas médias respectivas.
Termos diagonais da matriz Phi	Os termos diagonais de cada matriz Phi são estimativas escalares para cada série, neste caso: _1.11, _2.11 para a série de entrada X, _1.22, ._2.22 para a série de saída Y.
Mecanismo de transferência	Os elementos inferiores fora da diagonal representam a influência da entrada na saída. Isto é chamado de mecanismo de "transferência" ou modelo função transferência como discutido por Box e Jenkins no Capítulo 11. Os termos aqui correspondem aos seus termos . Os termos superiores fora da diagonal representam a influência da saída na entrada.
Feedback	Isto é chamado de "feedback". A presença de feedback pode também ser vista como um alto valor para um coeficiente na matriz de correlação dos resíduos. Um modelo de transferência "verdadeiro" existe quando não há feedback. Isto pde ser visto expressando a forma matricial na forma escalar:
Retardo	Finalmente, retardo ou tempo de "inatividade' pode ser medido estudando os elementos inferiores fora da diagonal novamente. Se, por exemplo, _1.21 não for significativo, o retardo é 1 período de tempo.