6.4.3.5. Triple Exponential Smoothing

6. Monitoramento e Controle de Processo ou Produto
6.4. Introdução à Análise de Séries Temporais
6.4.3. O que é Suavização Exponencial?

6.4.3.5. Suavização Exponencial Tripla

O que acontece se os dados apresentarem tendência e sazonalidade?

Para manusear sazonalidade, teremos de adicionar um terceiro parâmetro

Neste caso a suavização dupla não funcionará. Introduzimos agora uma terceira equação que leva em conta a sazonalidade (algumas vezes chamada periodicidade). O conjunto resultante de equações é chamado de método de "Holt-Winters" (HW) que são os nomes de seus inventores.

As equações básicas para o seu método são dadas por:

S(t) = alpha*(y(t)/I(t-L)) + (1-alpha)*(S(t-1)+b(t-1)
SUAVIZANDO TUDO;
b(t) = gamma*(S(t) - S(t-1)) + (1 - gamma)*b(t-1)
SUAVIZANDO TENDÊNCIA;
I(t) = beta*(Y(t)/S(t)) + (1 - beta)*I(t-L)
SUAVIZANDO SAZONALIDADE;
F(t+m) = (S(t+m*b(t))*I(t-L+m)
PREVISÃO onde

y é a observação
S é a observação suavizzada
b é o fator de tendência
I é o índice sazonal
F é a previsão em m períodos adiante
t é um índice denotando um período de tempo

, e

são constantes que devem ser estimadas de tal modo que o MSE dos erros seja minimizado. Isto fica melhor se deixado para um bom pacote de software.

Estação completya necessária

Para inicializar o método HW precisamos no mínimo dados de uma estação completa para determinar estimativas inciais dos índices de sazonalidade I _t-L.

L períodos numa estação

Dados de uma estação completa consistem de L períodos. E precisamos estimar o fator de tendência de um período para o próximo. Para acompanhar isto, é aconselhável usar duas estações completas, isto é, 2L períodos.

Valores iniciais para o fator tendência

Como obter estimativas iniciais para os parâmetros de tendência e sazonalidade

A fórmula geral para estimar a tendência inicial é dada por

b = (1/L)*{[(y(L+1)-y(1))/L] + [(y(L+2)-y(2))/L] + ... +
[(y(L+L)-y(L))/L]}

Valores iniciais para os Índices de Sazonalidade

Como veremos no exemplo, trabalharemos com dados que consistem de 6 anos com 4 períodos (isto é, 4 trimestres) por ano. Daí então

Passo 1: calcular médias anuais

Passo 1: Calcular as médias de cada um dos 6 anos

A(p) = SOMA[i=1 to 4][y(i)]/4 p = 1, 2, ...., 6

Passo 2: dividir pelas médias anuais

Step 2: Dividir as observações pela média anual apropriada

1	2	3	4	5	6

y₁/A₁	y₅/A₂	y₉/A₃	y₁₃/A₄	y₁₇/A₅	y₂₁/A₆
y₂/A₁	y₆/A₂	y₁₀/A₃	y₁₄/A₄	y₁₈/A₅	y₂₂/A₆
y₃/A₁	y₇/A₂	y₁₁/A₃	y₁₅/A₄	y₁₉/A₅	y₂₃/A₆
y₄/A₁	y₈/A₂	y₁₂/A₃	y₁₆/A₄	y₂₀/A₅	y₂₄/A₆

Passo 3: forma dos índices sazonais

Passo 3: Agora os índices sazonais são formados calculando a média de cada linha. Assim os índices sazonais iniciais (simbolicamente) são:

₁

₅

₂

₉

₃

₁₃

₄

₁₇

₅

₂₁

₆

₂

₁

₆

₂

₁₀

₃

₁₄

₄

₁₈

₅

₂₂

₆

₃

₁

₇

₂

₁₁

₃

₁₅

₄

₁₉

₅

₂₂

₆

₄

₁

₈

₂

₁₂

₃

₁₆

₄

₂₀

₅

₂₄

₆

Sabemos agora a álgebra por detrás do cálculo das estimativas iniciais.

A próxima página contém um exemplo de suavização exponencial tripla.

O caso dos Coeficientes Zero

Coeficientes zero para os parâmetros de tendência e sazonalidade

Algumas vezes acontece que um programa de computador para suavização exponencial tripla fornece coeficiente para tendência ( gama

) ou para sazonalidade ( beta

) zero. Ou o pior, ambos saem como zero!

Isto indica que não há tendência e/ou não sazonalidade?

É claro que não! Somente significa que os valores iniciais para tendência e/ou sazonalidade foram corretos no dinheiro. Nenhuma atualização foi necessária para se chegar ao MSE mais baixo possível. Deveríamos inspecionar fórmulas de atualização para verificar isto.