GABARITO DOS EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS PROPOSTOS (Juros Simples I)

1.Calcule o montante de uma aplicação de R$ 50.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 2 anos .

Solução

FV = ?      PV = 50.000,00    i = 2,5% a.m.     n = 24 meses

FV = PV (1 + in) = 50.000 (1 + 0,025 x 24) = 80.000,00

Com a CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C, temos:

f FIN f 2 50000 CHS PV 2.5 ENTER 12 x i 2 ENTER 360 x n f INT ENTER RCL PV CHS +

...limpa os dados dos registros financeiros e estabelece o número de casas decimais
...muda o valor atual para negativo e armazena em PV
...Devemos entrar com a taxa em percentual ao ano (2.5% x 12)
...Devemos entrar com o tempo em dias (2 x 360)
... Com estes comandos a calculadora apresentará, no visor, o valor dos juros: R$ 30.000,00 e irá armazena-lo no registro Y

... Com este comando a calculadora somará o juro armazenado em Y com a aplicação PV

2. Uma pessoa aplicou R$ 90.000,00 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ 180.000,00. Qual foi a taxa anual?

Solução

PV = 90.000,00    n = 5 anos        FV = 180.000,00         i = ?

FV = PV (1 + i x n) Þ 180.000,00 = 90.000,00 (1 + i x 5)

(1 + i x 5) = 2  Þ  i x 5 = 1  Þ  i = 0,20 a.a.  ou 20% a.a.

Outro jeito, seria:

J = PV i n  Þ  i =

Com a CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C, temos:

f FIN f 2 90000 ENTER 90000 ENTER 5 x ¸

...Limpa os dados dos registros financeiros e estabelece o número de casas decimais
...Não há funções para se calcular a taxa de juros simples

...Devemos fazer na raça!!

3. Um capital foi aplicado à taxa de 45% ao ano em 12/02/90. Em 03/05/90 foi efetuado o resgate no valor de R$ 107,80. Qual o valor do capital inicial?

Solução

i = 45% a.a.      FV = 107,80       n = 80 dias = 0.2222 anos    PV = ?

PV =      PV = R$ 98,00

Com a CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C, temos:

f FIN f 2 107,80 ENTER 1  ENTER 0.45 ENTER 0.2222  x  +   ¸

...Limpa os dados dos registros financeiros e estabelece o número de casas decimais
...Não há funções para este cálculo. Devemos faze-lo na raça!!!!

4. Um investidor aplicou R$ 200.000,00 no dia 06/01/90, à taxa de 27% ao ano. Em que data esse capital elevar-se-á a R$ 219.500,0?

Solução

PV = 200.000,00   i = 27% a.a.      FV = 219.500,00   n = ?

FV = PV (1 + i n)  Þ  219.500,00 = 200.000,00 (1 + 0.27 x n)

 Þ  1.10 = 1 + 0.27n  Þ  0.10 = 0.27 n

n =  anos   ou  0.36 x 360 = 130 dias

g D.MY 06.011990  ENTER 130 g DATE

Através da HP-12C

                                        ... Coloca no modo dia-mês-ano

                                        ... Introduz a data 06/01/90

                                        ... Coloca 130 dias adiante e calcula a data

                                        ... O visor mostra 16,05,1990   3

ou Tabela do Apêndice 2, temos:    16/05/90  (quarta-feira)

5. Um negociante obteve R$ 441.000,00 de empréstimo, à taxa de 21% ao ano. Alguns meses depois tendo encontrado quem lhe oferecesse a mesma importância a 18% ao ano, assumiu o compromisso com essa pessoa e, na mesma data, liquidou a dívida com a primeira. Um ano depois de realizado o primeiro empréstimo, saldou o débito e verificou que pagou ao todo R$ 82.688,00 de juro. Calcule o prazo do primeiro empréstimo?

SOLUÇÃO

P = 441.000,00                   P = 441.000,00

i₁ = 21% a . a .=1,75% a .m.     i­₂ = 18% a . a .= 1,5% a . m.

n₁ = x meses                     n₂ = 1 ano - x = 12 meses - x

J_total = 82.688,00 = J₁ + J₂

J₁ = P i₁ n₁ = 441.000.0,0175.x    J₂ = P i₂ n₂ = 441.000.0,0150.(12-x)

441000 [0,0175x + 0,0150(12 - x) = 82688

0,0175x + 0,18 - 0,0150x = (82.688/441.000) = 0,1875

0,0025 x = 0,1875 - 0,18

x = (0,0075/0,0025) = 3 meses.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS (Juros Simples II)

1. Transformar 2 anos, 3 meses e 12 dias em:

            a . anos            b. meses          c. dias

a . 2 anos + (3/12) anos + (12/360) anos[1] = 2,28 anos

b . 2 x 12 meses + 3 meses + 12/30 meses = 27,4 meses

c . 2 x 360 dias + 3 x 30 dias + 12 dias = 822 dias

2.   Qual a taxa anual proporcional a 1,4% ao mês?

SOLUÇÃO

O mês é uma fração 1/12 do período (ano). Logo, i₁₂ = 1,4%. Mas, i₁₂ =  , então,

i = 12 . i₁₂ = 12 . 1,4% = 16,8% a . a .

3. Calcular os juros de um investimento de R$ 2.500,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 1 ano, 4 meses e 10 dias.

SOLUÇÃO

P = R$ 2.500,00

i = 3% a . m. Þ i₁₂ = i/12 Þ i = 12 . 3% = 36% a . a . = 0,36 a . a .

n = 1 ano + 4/12 anos + 10/360 anos = 1,3611111 anos

J = P i n = 2.500 0,36 1,3611111 = R$ 1.225,00

4. Um investimento de R$ 2.800,00 rendeu em 1 ano, 5 meses e 3 dias a importância de R$ 2.872,80. Calcular a taxa mensal dessa rentabilidade.

SOLUÇÃO

P = R$ 2.800,00

n = 12 meses + 5 meses + 3/30 meses = 17,1 meses

i = ?

J = R$ 2.872,80 (este foi o rendimento)

J = P i n Þ 2872,80 = 2800 i 17,1 Þ i =  ou i= 6% a.m.

5. Que quantia deve-se investir à taxa de 3% a . m., para que se tenha ao final de 1 ano, 4 meses e 6 dias uma renda de R$ 97.200,00?

SOLUÇÃO

P = ?

i = 3% a . m. = 0,03 a . m.

n = 12 meses + 4 meses + 6/30 meses = 16,2 meses

J = R$ 97.200,00

J = P i n  Þ 97.200,00 = P 0,03 16,2 Þ P =

6.   Calcular os juros e o montante de uma aplicação de R$ 200.000,00 a 4,8% a . m., pelo prazo de 2 anos, 3 meses e 12 dias.

SOLUÇÃO

J = ?     M = ?

P = R$ 200.000,00

i = 4,8% = 0,048 a . m.

n = 24 meses + 3 meses + 12/30 meses = 27,4 meses

J = P i n = 200.000,00 x 0,048 x 27,4 = 263.040,00

M = P + J = R$ 463.040,00

7. Um investidor aplica 2/5 de seu capital a 3,5% a . m. e o restante a 24% ao semestre. Decorridos 2 anos, 3 meses e 15 dias, recebe um total de R$ 313.500,00 de juros. Calcular o seu capital.

SOLUÇÃO

P₁ = (2/5)P   i = 3,5% = 0,035 a . m.    

P₂ = (3/5)P   i₂ = 24% a .s. = 4% a . m. = 0,04 a . m.

n = 24 meses + 3 meses + 15/30 meses = 27,5 meses

J₁ = P₁ i n = (2/5) . P . 0,035 . 27,5 = 0,385 P

J₂ = P₂ i n = (3/5) . P . 0,04 . 27,5 = 0,66 P

J₁  + J₂ = 313.500,00 = 0,385 P + 0,66 P =1,045 P

P = 313.500,00/1,045 = 300.000,00

8. Um investidor aplicou R$ 120.000,00 a 42% a . a .. Decorrido um certo tempo, a taxa foi diminuída para 3% ao mês. Calcular o prazo em que vigorou a taxa de 3% ao mês, sabendo que em 7 meses os juros totalizaram R$ 27.000,00. Resp:- 4 meses

SOLUÇÃO

P = R$ 120.000,00                            P = R$ 120.000,00

i = 42% = 3,5% a .m. = 0,035 a . m.          i’= 3% = 0,03 a . m.

n’= 7 - n                                    n = ?

J = P i n Þ J₁ = 120.000,00 0,035 (7 - n) e

             J₂ = 120.000,00 0,03 n

A soma dos juros será:

120.000,00 0,035 (7 - n) + 120.000,00 0,03 n = 27.000,00

Dividindo todos os termos desta equação por 3.000,00 , resulta:

40 0,035 (7 - n) + 40 0,03 n = 9 Þ 0,2 n = 0,8  ou

n = 4 meses

9.   Duas aplicações, uma à taxa de 4,8% ao mês e a outra a 3,6 ao mês, renderam, em 1 ano e 3 meses, R$ 99.000,00 de juros. Calcular cada uma dessas aplicações, sabendo que os juros da primeira excederam os da segunda em R$ 1.800,00

SOLUÇÃO

P₁ = ?                                       P₂ = ?

i₁ = 0,048 a . m.                            i₂ = 0,036 a . m.

n = 15 meses                                

J = P i n

J₁ = P₁ 0,048 15 = 0,72 P₁              J₂ = P₂ 0,036 15 = 0,54 P₂

Efetuando, respectivamente, a soma e a diferença dos juros, temos:

0,72 P₁ + 0,54 P₂ = 99.000,00

0,72 P₁ - 0,54 P₂ =  1.800,00

Somando as duas equações acima, temos:1,44 P₁ = 100.800,00 Þ

P1 = R$ 70.000,00

 

 

Subtraindo uma equação da outra, temos:

1,08 P₂ = 97.200,00 Þ

P2 = R$ 90.000,00

 

 

10. A que taxa devemos investir para que, em 10 anos, o montante seja o dobro da aplicação inicial?

SOLUÇÃO

Pela fórmula do montante, M = P + J. Para que M = 2P, o juro deverá ser igual à aplicação inicial. Portanto:

M = P + P = 2 P

Por outro lado, sabemos que M = P (1 + in) e que n = 10, temos:

P (1 + 10i) = 2P

Simplificando, fica:

1 + 10 i = 2 Þ i = 0,1 ou 10% a . a .

EXERCÍCIOS PROPOSTOS (Descontos Simples)

1.Uma duplicata de R$ 230.000,00 foi resgatada antes do seu vencimento por R$ 191.360,00. Calcular o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4,5% ao mês.

SOLUÇÃO

N = R$ 230.000,00

A = R$ 191.360,00                d = N i n

n = ?            230.000 - 191.360 = 230.000 0,045 n

i = 4,5% = 0,045 a . m.       n = 38.640/(230.000 0,045) = 3,73333 meses

                             n = 3 meses + 0,733333 x 30 dias =

                              n = 3 meses 22 dias

2, Calcular o valor nominal de um título com vencimento para 3 meses, sabendo que a diferença entre os seus descontos comercial e racional, à taxa de 4% ao mês, é de R$ 3.034,29.

SOLUÇÃO

d = N i n .....comercial                      A’= ..racional

       d’ = A’i n     d’ = A’(d/N) = (A’/N)d =                     

d = N 0,04 3 = 0,12 N

                             d’ =  

d - d’ = 3.034,29

0,12 N - 0,10714286 N = 3.034,29

0,01285714 N = 3.034,29 Þ N = R$ 236.000,00

3.   Calcular o tempo de antecipação do resgate de uma nota promissória, sabendo que o seu valor nominal é seis vezes o do desconto comercial, a 5% ao mês.

SOLUÇÃO

d = N i n Þ d = 6d 0,05 n Þ n = 1/0,3 = 10/3 = 3 meses

n = 3 meses 10 dias

4.   Duas promissórias, uma de R$ 50.000,00, vencível em 90 dias e outra de R$ 90.000,00, vencível em 150 dias, deverão ser resgatadas por um só pagamento, a ser efetuado dentro de 60 dias. Qual é o valor desse resgate à taxa de desconto comercial de 3,5% ao mês?

SOLUÇÃO

N₁ = R$ 50.000,00                           N₂ = R$ 90.000,00

n₁ = 90 dias = 3 meses                      n₂ = 150 dias = 5 meses

Vamos calcular os valores atuais( a 60 dias de hoje) das duas notas promissórias:

A₁ = 50.000,00 (1 - 0,035 . 1) ® (a 1 mês do vencimento)

A₁ = R$ 48.250,00

A₂ = 90.000,00 (1 - 0,035 . 3) ® (a 3 meses do vencimento)

A₂ = R$ 80.550,00

No resgate( a 60 dias de hoje), temos A₁ + A₂ = 48.250,00 + 80.550,00 = R$ 128.800,00

5. Uma empresa descontou dois títulos num banco. Um de R$ 240.000,00 para 90 dias e outro de R$ 160.000,00 para 180 dias. Desejando substituí-los por um título único, com vencimento para 60 dias, calcular o valor nominal deste último, supondo que permaneça inalterada a taxa de desconto (comercial) de 3,5% ao mês.

SOLUÇÃO

N₁ = R$ 240.000,00                          N₂ = R$ 160.000,00

n₁ = 90 dias = 3 meses                      n₂ = R$ 180 dias = 6 meses

n = 60 dias = 2 meses

Cálculo dos valores atuais:   (na data de hoje)

A₁ = 240.000,00 (1 - 0,035 . 3)= 214.800,00

A₂ = 160.000,00 (1 - 0,035 . 6)= 126.400,00

A = N(1 - 0,035 . 2) = 0,93 N    na data de hoje

Cálculo do valor nominal do título único:

A = A₁ + A₂ Þ 0,93 N = 214.800 + 126.400

0,93 N = 341.200,00 Þ N = R$ 366.881,72

6.                  Uma empresa tem três títulos descontados num banco com valores de R$ 50.000,00, R$ 180.000,00 e R$ 70.000,00,a vencerem respectivamente em 90, 150 e 180 dias. Desejando substituí-los por dois outros de valores nominais iguais, para 60 e 120 dias, calcular o valor nominal comum, supondo que a taxa de desconto comercial é de 3,5% ao mês para todas as transações.

SOLUÇÃO

N₁ = R$ 50.000,00

n₁ = 90 dias = 3 meses

N₂ = R$ 180.000,00                        N = ?

n₂ = 150 dias = 5 meses                   n₁’ = 60 dias = 2 meses

N₃ = R$ 70.000,00                         N = ?

n₃ = 180 dias = 6 meses                   n₂’ = 120 dias = 4 meses

Cálculo dos valores atuais:  (na data de hoje)

A1 = 50.000,00(1 - 0,035 . 3) = 44.750,00 A2 = 180.000,00 (1 - 0,035 . 5) = 148.500,00 A3 = 70.000,00 (1 - 0,035 . 6) = 55.300,00

TÍTULOS A SEREM SUBSTITUÍDOS

A1’= N (1 - 0,035 . 2) = 0,93 N A2’= N (1 - 0,035 . 4) = 0,86 N

TÍTULOS SUBSTITUTOS

Cálculo do valor nominal

0,93 N + 0,86 N = 44.750 + 148.500 + 55.300

1,79 N = 248.550

N = R$ 138.854,75

7. Três títulos cujos valores são: R$ 230.000,00, R$ 180.000,00 e R$ 140.000,00, com vencimento para 30, 60 e 90 dias, respectivamente, foram substituídos por dois outros de R$ 300.000,00 cada um, vencíveis em 120 e 180 dias. Calcular a taxa de desconto comercial, supondo que seja a mesma para toda a transação.

SOLUÇÃO

Cálculo dos valores atuais:

A₁ = 230.000,00 (1 - i)

A₂ = 180.000,00 (1 - 2i)             A₁’= 300.000,00 ( 1 - 4i)

A₃ = 140.000,00 (1 - 3i)             A₂’= 300.000,00 ( 1 - 6i)

Cálculo da taxa de desconto:

Estabelecendo uma relação entre os valores atuais[2], temos:

A₁’ + A₂’ = A₁ + A₂ + A₃

ou seja,

300.000,00 (1 - 4i) + 300.000,00 (1 - 6i) = 230.000(1 - i) + 180.000(1 - 2i) + 140.000 (1 - 3i) Þ 199 i = 5

i = 0,0251 ou i = 2,51% a . m.